Home / xét tính bị chặn của dãy số

Xét tính bị chặn của dãy số

Admin 28/12/2021 199

Phương pháp áp dụngSử dụng định nghĩa:* Nếu ∃M ∈ R : u$_n$ ≤ M, ∀n ∈ N* thì (u$_n$) bị chặn trên.* Nếu ∃m ∈ R : u$_n$ ≥ m, ∀n ∈ N* thì (u$_n$) bị chặn dưới.* Nếu ∃m, M ∈ R : m ≤ u$_n$ ≤ M, ∀n ∈ N* thì (u$_n$) bị chặn.Chú ý: Ta có các kết quả:* Mọi dãy số (u$_n$) giảm luôn bị chặn trên bởi u1.* Mọi dãy số (u$_n$) tăng luôn bị chặn dưới bởi u1.Ví dụ vận dụngThí dụ 1.
Bạn đang xem: Xét tính bị chặn của dãy số
Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số (u$_n$), biết:a. u$_n$ = ${( - 1)^{n - 1}}\sin \frac{1}{n}$. b. u$_n$ = $\sqrt {n + 1} - \sqrt n $.
a. Ta có nhận xét rằng dãy số (u$_n$) đan dấu nên nó không tăng, không giảm.Mặt khác, ta có: |u$_n$| = |${( - 1)^{n - 1}}\sin \frac{1}{n}$| = |sin$\frac{1}{n}$| ≤ 1 => (u$_n$) bị chặn.b. Ta có nhận xét:u$_n$ = $\sqrt {n + 1} - \sqrt n $ = $\frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}$,u$_{n + 1}$ = $\sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} $ = $\frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }}$ Vậy, dãy (u$_n$) giảm.Mặt khác, ta có: 0 (u$_n$) bị chặn.Thí dụ 2. Chứng tỏ rằng dãy số (u$_n$) với u$_n$ = $\frac{{{n^2} + 1}}{n}$ bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.

Xem thêm: Chạy Lại Phần Mềm Android Bao Nhiêu Tiền ? Chạy Lại Phần Mềm Android Bao Nhiêu Tiền

Viết lại u$_n$ dưới dạng u$_n$ = n + $\frac{1}{n}$.Khi đó, ta nhận thấy:* Sử dụng bất đẳng thức Côsi thì: u$_n$ $\mathop \ge \limits^{C\ll si} $2$\sqrt {n.\frac{1}{n}} $ = 2 => (u$_n$) bị chặn dưới bởi 2.* Không tồn tại số M để u$_n$ ≤ M, ∀n ∈ N* nên (u$_n$) không bị chặn trên.Vậy, dãy (u$_n$) bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.Thí dụ 3. Chứng tỏ rằng dãy số (u$_n$) với u$_n$ = $\frac{{n - 1}}{{\sqrt {{n^2} + 1} }}$ bị chặn.
Ta thấy ngay:* u$_n$ ≥ 0, do đó nó bị chặn dưới.* Ta đi chứng minh u$_n$ ≤ 1 với ∀n ∈ N* bằng việc sử dụng biến đổi đại số, cụ thể:$\frac{{n - 1}}{{\sqrt {{n^2} + 1} }}$ ≤ 1 $\sqrt {{n^2} + 1} $ ≥ n - 1 n$^2$ + 1 ≥ n$^2$ - 2n + 1 n ≥ 0, luôn đúng.Suy ra, ta luôn có u$_n$ ≤ 1, ∀n ∈ N*, tức là (u$_n$) bị chặn dưới bởi 1.Vậy, ta được 0 ≤ u$_n$ ≤ 1, do đó nó bị chặn.Thí dụ 4. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của dãy số sau: u$_n$ = $\frac{1}{{1.2}}$ + $\frac{1}{{2.3}}$ + ... + $\frac{1}{{n(n + 1)}}$.
Ta có $\frac{1}{{n(n + 1)}}$ = $\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}$từ đó, ta thấy: u$_n$ = 1 - $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{4}$ + … + $\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}$= 1 - $\frac{1}{{n + 1}}$ (1)= $\frac{n}{{n + 1}}$.(2)Khi đó:* Từ (1) ta suy ra u$_n$ * Từ (2) ta suy ra u$_n$≥ 0, do đó nó bị chặn dưới.Vậy, dãy (u$_n$) bị chặn.
Tác giảChủ đề tương tựDiễn đànBình luậnNgày